Людському розуму важко впоратися з крайнощами. Ми легко розуміємо «один», «два», «багато», але коли числа виходять за рамки повсякденного досвіду, вони стають абстрактними поняттями, а не величинами, які ми можемо справді зрозуміти. Проте математика не зупиняється на тому, що нам зручно; він проникає в області, де цифри стають настільки величезними, що не піддаються інтуїції.
Ми говоримо не про нескінченність — концепцію, яка вже розширює межі розуміння, — а про скінченні числа, які досі є незбагненно великими. З розвитком суспільства зростала потреба у більшій кількості. У ранніх культурах часто не було мови для точного підрахунку, окрім базових потреб, оскільки точні кількості не були вирішальними для виживання. Зараз ми побіжно обговорюємо трильйони боргів і оцінку компаній, але основний принцип залишається незмінним: цифри ростуть безмежно.
Проблема презентації
Перша перешкода полягає в тому, щоб просто записати ці цифри. Мільйон читається легко, а септильйон? Ряд чисел втрачає сенс без скорочень. Тут на допомогу приходить експоненціальний запис. Замість того, щоб записувати нескінченні нулі, ми використовуємо ступені десяти: 10², 10⁶, 10¹². Ця система – це не просто зручність; це важливо для роботи в науковому та фінансовому масштабах, де важлива точність.
Математики ще більше вдосконалили це, ввівши номенклатуру: мільйон, мільярд, трильйон і так далі. Система «–illon», яка має своє коріння в латинській та грецькій мовах, поширюється на невизначений термін. Однак навіть ці назви втрачають значення після певного моменту, тому наукове позначення (наприклад, 2,3 x 10⁶) стає кращим методом для ясності.
Всесвіт у цифрах
Потреба у величезних числах не тільки академічна. Їх вимагає сам Всесвіт. Вік Всесвіту становить приблизно 4 х 10¹⁷ секунд. Оцінки кількості піщинок на Землі досягають 10²⁰. Кількість зірок у доступному для спостереження Всесвіті коливається від 10²² до 10²³. А одне людське тіло містить приблизно 10²⁷ атомів.
Число Еддінгтона — приблизно 10⁸⁰ — являє собою верхню межу для підрахунку будь-чого фізично реального. Крім того, ми вступаємо на суто математичну територію.
За межами числа Еддінгтона: зростання математичного перебільшення
Коли практичні межі перевищено, математики починають будувати ще більші числа. Googol (10¹⁰⁰) був придуманий у 1920 році племінником Едварда Кассера, грайливе дослідження величини. Google черпав натхнення з цього терміну, хоча й з іншим написанням.
Але навіть Googol — це не кінець. googolplex (10 у степені googol) настільки великий, що для його представлення знадобилося б більше книг, ніж атомів у Всесвіті. Щоб піти далі, математики використовують ітераційне піднесення до степеня: зведення експонент до степенів. Це призводить до позначень, таких як позначення верхньої стрілки Кнута, де кожна додаткова стрілка представляє новий рівень зростання.
Абсурдність чисел Грема і не тільки
Число Грема, яке народилося з теорії Рамсі, визначається рекурсивно за допомогою нотації Кнута — навіть кількість стрілок визначається рекурсивно. Він настільки великий, що обговорювати його числа в десятковій формі практично неможливо. TREE(3), число з теорії графів, ще більше.
Ці цифри не просто великі; вони представляють межі нашої здатності концептуалізувати кількість. Вони обмежені, суворо визначені, але абсолютно поза межами людської інтуїції.
Остаточний уявний експеримент: кількість можливих фотографій
Останній приклад: розглянемо теоретичну максимальну кількість фотографій, які може зробити цифрова камера. Враховуючи фіксовану кількість пікселів і глибину кольору, існує кінцева (хоча і астрономічно велика) межа. Навіть якби Всесвіт відтворювався незліченну кількість разів, це число залишалося б незмінним. Розрахунок дає цифру близько 10²4⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, значення настільки величезне, що воно перевершує майже все інше, що обговорювалося раніше.
Основна ідея проста: цифри можуть зростати нескінченно, навіть якщо ми не можемо зрозуміти їх масштаб. Всесвіт може здаватися нескінченним у багатьох відношеннях, але математично навіть його найбільші величини є кінцевими. Справжнє диво полягає не в тому, наскільки великі ці числа, а в тому, що вони існують як певні, вимірювані сутності в математиці.
