Ludzki umysł ma trudności z radzeniem sobie ze skrajnościami. Z łatwością rozumiemy „jeden”, „dwa”, „wiele”, ale kiedy liczby wykraczają poza codzienne doświadczenie, stają się pojęciami abstrakcyjnymi, a nie ilościami, które możemy naprawdę zrozumieć. Jednak matematyka nie kończy się na tym, co jest dla nas wygodne; przenika do obszarów, gdzie liczby stają się tak ogromne, że przeczą intuicji.
Nie mówimy o nieskończoności – koncepcji, która już rozciąga granice zrozumienia – ale o liczbach skończonych, które wciąż są niewyobrażalnie duże. Wraz z rozwojem społeczeństw rosła potrzeba większej liczby. Wczesne kultury często nie dysponowały językiem umożliwiającym dokładne liczenie wykraczające poza podstawowe potrzeby, ponieważ dokładne ilości nie były krytyczne dla przetrwania. Teraz swobodnie dyskutujemy o bilionach długów i wycenach firm, ale podstawowa zasada pozostaje ta sama: liczby rosną bez ograniczeń.
Problem z prezentacją
Pierwszą przeszkodą jest po prostu zapisanie tych liczb. Milion jest łatwy do odczytania, ale septylion? Bez skrótów ciąg liczb staje się bez znaczenia. Tutaj na ratunek przychodzi notacja wykładnicza. Zamiast wypisywać nieskończone zera, używamy potęg dziesiątek: 10², 10⁶, 10¹². Ten system to nie tylko wygoda; jest to niezbędne do pracy na skalę naukową i finansową, gdzie ważna jest precyzja.
Matematycy udoskonalili to, wprowadzając nomenklaturę: milion, miliard, bilion i tak dalej. System „–illon”, mający swoje korzenie w łacinie i grece, rozciąga się w nieskończoność. Jednak nawet te nazwy tracą znaczenie po pewnym momencie, więc notacja naukowa (taka jak 2,3 x 10⁶) staje się preferowaną metodą zapewniającą przejrzystość.
Wszechświat w liczbach
Zapotrzebowanie na ogromne liczby ma charakter nie tylko akademicki. Sam Wszechświat ich wymaga. Wiek Wszechświata wynosi w przybliżeniu 4 x 10¹⁷ sekund. Szacunki dotyczące liczby ziaren piasku na Ziemi sięgają 10²⁰. Liczba gwiazd w obserwowalnym Wszechświecie waha się od 10²² do 10²³. A jedno ludzkie ciało zawiera około 10²⁷ atomów.
Liczba Eddingtona — w przybliżeniu 10⁸⁰ — reprezentuje górną granicę liczenia czegokolwiek fizycznie realnego. Poza tym wkraczamy na obszar czysto matematyczny.
Poza liczbą Eddingtona: powstanie matematycznej przesady
Po przekroczeniu praktycznych granic matematycy zaczynają konstruować jeszcze większe liczby. Googol (10¹⁰⁰) został ukuty w 1920 roku przez siostrzeńca Edwarda Kassera i stanowił zabawną eksplorację wielkości. Google zainspirował się tym terminem, choć z inną pisownią.
Ale nawet Googol to nie koniec. googolplex (10 do potęgi googol) jest tak duży, że do jego przedstawienia potrzeba więcej książek, niż jest atomów we wszechświecie. Idąc o krok dalej, matematycy stosują iterowane potęgowanie: podnoszenie wykładników do potęg. Prowadzi to do zapisów takich jak zapis górnej strzałki Knutha, gdzie każda dodatkowa strzałka reprezentuje nowy poziom wzrostu.
Absurd liczb Grahama i nie tylko
Liczbę Grahama, wywodzącą się z teorii Ramseya, definiuje się rekurencyjnie za pomocą notacji Knutha – nawet liczba strzałek jest definiowana rekurencyjnie. Jest tak duży, że omówienie jego liczb w formie dziesiętnej jest prawie niemożliwe. DRZEWO(3), liczba z teorii grafów, jest jeszcze większa.
Te liczby są nie tylko duże; reprezentują granice naszej zdolności do konceptualizacji ilości. Są skończone, ściśle określone, ale całkowicie poza ludzką intuicją.
Końcowy eksperyment myślowy: liczba możliwych zdjęć
Ostatni przykład: rozważ teoretyczną maksymalną liczbę zdjęć, jaką może wykonać aparat cyfrowy. Biorąc pod uwagę stałą liczbę pikseli i głębię kolorów, istnieje skończony (aczkolwiek astronomicznie duży) limit. Nawet gdyby wszechświat został odtworzony niezliczoną ilość razy, liczba ta pozostałaby taka sama. Obliczenia dają liczbę około 10²⁴⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, wartość tak ogromną, że przyćmiewa prawie wszystko inne omówione wcześniej.
Podstawowa idea jest prosta: liczby mogą rosnąć w nieskończoność, nawet jeśli nie jesteśmy w stanie pojąć ich skali. Wszechświat może wydawać się nieskończony pod wieloma względami, ale matematycznie nawet jego największe wielkości są skończone. Prawdziwym cudem nie jest jak duże są te liczby, ale to, że istnieją one jako określone, mierzalne byty w matematyce.
