De menselijke geest worstelt met uitersten. Van nature begrijpen we ‘één’, ‘twee’, ‘veel’, maar wanneer getallen de dagelijkse ervaring te boven gaan, worden het abstracte concepten in plaats van kwantiteiten die we echt kunnen bevatten. Toch stopt de wiskunde niet bij wat ons uitkomt; het dringt door tot gebieden waar de aantallen zo groot worden dat ze de intuïtie tarten.
Dit gaat niet over oneindigheid – een concept dat de grenzen van het begrip al verlegt – maar over eindige getallen die nog steeds onbegrijpelijk groot zijn. Naarmate samenlevingen evolueerden, groeide ook de behoefte aan grotere aantallen. In vroege culturen ontbrak het vaak aan woorden voor nauwkeurige tellingen die verder gingen dan de basisbehoeften, omdat exacte hoeveelheden niet van cruciaal belang waren om te overleven. Nu bespreken we terloops biljoenen schulden en waarderingen van bedrijven, maar het onderliggende principe blijft hetzelfde: de aantallen groeien grenzeloos.
Het probleem van representatie
De eerste hindernis is simpelweg het schrijven van deze cijfers. Een miljoen is gemakkelijk leesbaar, maar een septiljoen? De reeks cijfers wordt betekenisloos zonder steno. Hier komt de exponentiële notatie om de hoek kijken. In plaats van eindeloze nullen op te schrijven, gebruiken we machten van tien: 10², 10⁶, 10¹². Dit systeem is niet alleen voor het gemak; het is essentieel voor het omgaan met wetenschappelijke en financiële schalen waarbij precisie van cruciaal belang is.
Wiskundigen hebben dit verder verfijnd met naamgevingsconventies: miljoen, miljard, biljoen en meer. Het ‘–illion’-systeem, geworteld in het Latijn en Grieks, geldt voor onbepaalde tijd. Maar zelfs deze namen verliezen hun betekenis voorbij een bepaald punt, waardoor wetenschappelijke notatie (zoals 2,3 x 10⁶) de voorkeursmethode voor duidelijkheid is.
Het universum in cijfers
De behoefte aan enorme aantallen is niet louter academisch. Het universum zelf eist ze. De leeftijd van het heelal is grofweg 4 x 10¹⁷ seconden. Schattingen van het aantal zandkorrels op aarde bereiken 10²⁰. Het aantal sterren in het waarneembare heelal ligt tussen de 10²² en 10²³. En één menselijk lichaam bevat ongeveer 10²⁷ atomen.
Het Eddington-getal – ongeveer 10⁸⁰ – vertegenwoordigt een bovengrens voor het tellen van alles wat fysiek reëel is. Daarnaast betreden we puur wiskundig terrein.
Voorbij het Eddington-getal: de opkomst van wiskundige excessen
Zodra de praktische grenzen zijn overschreden, beginnen wiskundigen nog grotere getallen te construeren. Een googol (10¹⁰⁰) werd in 1920 bedacht door de neef van Edward Kasner, een speelse verkenning van de omvang. Het bedrijf Google haalde inspiratie uit deze term, zij het met een andere spelling.
Maar zelfs een googlel is niet het einde. Een googolplex (10 tot de macht van een googol) is zo groot dat voor de weergave ervan meer boeken nodig zijn dan atomen in het universum. Om verder te gaan, gebruiken wiskundigen herhaalde machtsverheffing: het verheffen van exponenten tot exponenten. Dit leidt tot notaties zoals de pijl-omhoognotatie van Knuth, waarbij elke extra pijl een nieuw groeiniveau vertegenwoordigt.
De absurditeit van Grahams Number and Beyond
Het getal van Graham, voortgekomen uit de Ramsey-theorie, wordt recursief gedefinieerd met behulp van de notatie van Knuth – zelfs het aantal pijlen wordt recursief gedefinieerd. Het is zo groot dat het praktisch onmogelijk is om de cijfers in decimale vorm te bespreken. TREE(3), een getal uit de grafentheorie, is zelfs nog groter.
Deze cijfers zijn niet alleen groot; ze vertegenwoordigen de grenzen van ons vermogen om kwantiteit te conceptualiseren. Ze zijn eindig, strikt gedefinieerd, maar gaan de menselijke intuïtie volkomen te boven.
Een laatste gedachte-experiment: het aantal mogelijke foto’s
Nog een laatste voorbeeld: denk eens aan het theoretische maximale aantal foto’s dat een digitale camera kan maken. Met een vast aantal pixels en een vaste kleurdiepte is er een eindige (hoewel astronomisch grote) limiet. Zelfs als het universum talloze keren opnieuw zou worden gecreëerd, zou dit aantal nog steeds bestaan. De berekening resulteert in een getal rond de 10²⁴⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, een waarde die zo immens groot is dat hij vrijwel al het andere dat besproken wordt in de schaduw stelt.
De conclusie is simpel: aantallen kunnen voor onbepaalde tijd groeien, zelfs als we de omvang ervan niet kunnen begrijpen. Het universum lijkt in veel opzichten misschien oneindig, maar wiskundig gezien zijn zelfs de grootste hoeveelheden eindig. Het echte wonder is niet alleen hoe groot deze getallen zijn, maar dat ze bestaan als gedefinieerde, meetbare entiteiten binnen het raamwerk van de wiskunde.
