La mente umana lotta con gli estremi. Comprendiamo naturalmente “uno”, “due”, “molti”, ma quando i numeri crescono oltre l’esperienza quotidiana, diventano concetti astratti anziché quantità che possiamo veramente comprendere. Tuttavia, la matematica non si ferma a ciò che è conveniente per noi; si spinge in regni dove i numeri diventano così vasti da sfidare l’intuizione.
Non si tratta di infinito – un concetto che già estende i limiti della comprensione – ma di numeri finiti che sono ancora incomprensibilmente grandi. Man mano che le società si evolvevano, aumentava anche la necessità di numeri più grandi. Le prime culture spesso non disponevano di parole per conteggi precisi oltre le necessità di base, perché le quantità esatte non erano fondamentali per la sopravvivenza. Ora discutiamo con disinvoltura di trilioni di debiti e valutazioni delle aziende, ma il principio di fondo rimane lo stesso: i numeri crescono senza limiti.
Il problema della rappresentazione
Il primo ostacolo è semplicemente scrivere questi numeri. Un milione è facilmente leggibile, ma un settiglione? La stringa di cifre diventa priva di significato senza l’abbreviazione. È qui che entra in gioco la notazione esponenziale. Invece di scrivere infiniti zeri, usiamo potenze di dieci: 10², 10⁶, 10¹². Questo sistema non è solo per comodità; è essenziale per affrontare scale scientifiche e finanziarie dove la precisione è vitale.
I matematici hanno ulteriormente perfezionato questo concetto con convenzioni di denominazione: milioni, miliardi, trilioni e oltre. Il sistema “–illion”, radicato nel latino e nel greco, si estende indefinitamente. Tuttavia, anche questi nomi perdono significato oltre un certo punto, rendendo la notazione scientifica (come 2,3 x 10⁶) il metodo preferito per chiarezza.
L’Universo in numeri
La necessità di numeri enormi non è puramente accademica. L’universo stesso li richiede. L’età dell’universo è di circa 4 x 10¹⁷ secondi. Le stime dei granelli di sabbia sulla Terra raggiungono i 10²⁰. Il numero di stelle nell’universo osservabile è compreso tra 10²² e 10²³. E un singolo corpo umano contiene circa 10²⁷ atomi.
Il numero di Eddington, circa 10⁸⁰, rappresenta un limite superiore nel conteggio di qualsiasi cosa fisicamente reale. Oltre a ciò, entriamo nel territorio puramente matematico.
Oltre il numero di Eddington: l’ascesa degli eccessi matematici
Una volta superati i limiti pratici, i matematici iniziano a costruire numeri ancora più grandi. Un googol (10¹⁰⁰) fu coniato nel 1920 dal nipote di Edward Kasner, una giocosa esplorazione della grandezza. L’azienda Google si è ispirata a questo termine, anche se con una grafia diversa.
Ma anche un googol non è la fine. Un googolplex (10 alla potenza di un googol) è così grande che rappresentarlo richiederebbe più libri che atomi nell’universo. Per spingersi oltre, i matematici usano l’esponenziazione iterata: elevando esponenti a esponenti. Ciò porta a notazioni come la notazione della freccia su di Knuth, dove ogni freccia aggiuntiva rappresenta un nuovo livello di crescita.
L’assurdità del numero di Graham e oltre
Il numero di Graham, nato dalla teoria di Ramsey, è definito ricorsivamente utilizzando la notazione di Knuth: anche il numero delle frecce è definito ricorsivamente. È così grande che discutere le sue cifre in forma decimale è praticamente impossibile. TREE(3), un numero della teoria dei grafi, è ancora più grande.
Questi numeri non sono solo grandi; rappresentano i limiti della nostra capacità di concettualizzare la quantità. Sono finiti, rigorosamente definiti, ma completamente al di là dell’intuizione umana.
Un ultimo esperimento mentale: il numero di foto possibili
Un ultimo esempio: considera il numero massimo teorico di foto che una fotocamera digitale potrebbe scattare. Con un numero di pixel e una profondità di colore fissi, esiste un limite finito (anche se astronomicamente grande). Anche se l’universo fosse ricreato innumerevoli volte, questo numero rimarrebbe valido. Il calcolo risulta in un numero intorno a 10²⁴⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, un valore così immenso da far impallidire quasi tutto il resto discusso.
La conclusione è semplice: i numeri possono crescere indefinitamente, anche se non riusciamo a comprenderne la portata. L’universo può sembrare infinito in molti modi, ma matematicamente anche le sue quantità più grandi sono finite. La vera meraviglia non è solo quanto grandi siano questi numeri, ma che esistano come entità definite e misurabili nel quadro della matematica.
