Pikiran manusia bergumul dengan hal-hal ekstrem. Secara alamiah kita memahami “satu”, “dua”, “banyak”, namun ketika angka-angka bertambah melampaui pengalaman sehari-hari, angka-angka tersebut menjadi konsep abstrak dan bukan kuantitas yang benar-benar dapat kita pahami. Namun, matematika tidak berhenti pada hal yang mudah bagi kita; hal ini mendorong ke dalam dunia di mana angka-angka menjadi begitu besar sehingga tidak sesuai dengan intuisi.
Ini bukan tentang ketidakterbatasan—sebuah konsep yang sudah melampaui batas pemahaman—melainkan tentang angka-angka terbatas yang masih sangat besar. Seiring dengan berkembangnya masyarakat, kebutuhan akan jumlah yang lebih besar juga meningkat. Kebudayaan awal sering kali kekurangan kata-kata untuk menghitung jumlah pasti melebihi kebutuhan dasar, karena jumlah pasti tidak penting untuk kelangsungan hidup. Saat ini, kita dengan santai membahas triliunan utang dan penilaian perusahaan, namun prinsip dasarnya tetap sama: jumlah perusahaan tumbuh tanpa batas.
Masalah Representasi
Rintangan pertama hanyalah menulis angka-angka ini. Satu juta mudah dibaca, tapi satu septillion? Rangkaian angka menjadi tidak berarti tanpa steno. Di sinilah notasi eksponensial berperan. Daripada menuliskan angka nol tanpa akhir, kita menggunakan pangkat sepuluh: 10², 10⁶, 10¹². Sistem ini bukan hanya untuk kenyamanan; hal ini penting untuk menangani skala ilmiah dan finansial yang mengutamakan presisi.
Para ahli matematika menyempurnakannya dengan konvensi penamaan: juta, miliar, triliun, dan seterusnya. Sistem “–illion”, yang berakar pada bahasa Latin dan Yunani, berlaku tanpa batas waktu. Namun, bahkan nama-nama ini kehilangan maknanya melebihi titik tertentu, sehingga notasi ilmiah (seperti 2,3 x 10⁶) menjadi metode yang lebih disukai untuk kejelasan.
Alam Semesta dalam Angka
Kebutuhan akan jumlah yang besar tidak semata-mata bersifat akademis. Alam semesta sendiri menuntutnya. Usia alam semesta kira-kira 4 x 10¹⁷ detik. Perkiraan butiran pasir di Bumi mencapai 10²⁰. Jumlah bintang di alam semesta teramati adalah antara 10²² dan 10²³. Dan satu tubuh manusia mengandung sekitar 10²⁷ atom.
Angka Eddington—kira-kira 10⁸⁰—mewakili batas atas penghitungan segala sesuatu yang nyata secara fisik. Di luar ini, kita memasuki wilayah matematika murni.
Melampaui Bilangan Eddington: Bangkitnya Kelebihan Matematika
Setelah batasan praktis terlampaui, ahli matematika mulai menyusun bilangan yang lebih besar lagi. googol (10¹⁰⁰) diciptakan pada tahun 1920 oleh keponakan Edward Kasner, sebuah eksplorasi besar yang lucu. Perusahaan Google mengambil inspirasi dari istilah ini, meski dengan ejaan yang berbeda.
Namun googol pun bukanlah akhir. googolplex (10 pangkat googol) begitu besar sehingga untuk merepresentasikannya memerlukan lebih banyak buku daripada atom di alam semesta. Untuk melangkah lebih jauh, ahli matematika menggunakan eksponen berulang: menaikkan eksponen menjadi eksponen. Hal ini mengarah pada notasi seperti notasi panah atas Knuth, di mana setiap panah tambahan mewakili tingkat pertumbuhan baru.
Absurditas Bilangan Graham dan Selebihnya
Bilangan Graham, yang lahir dari teori Ramsey, didefinisikan secara rekursif menggunakan notasi Knuth—bahkan jumlah anak panah pun didefinisikan secara rekursif. Saking besarnya, hampir mustahil untuk membahas angka-angkanya dalam bentuk desimal. TREE(3), bilangan dari teori graf, bahkan lebih besar lagi.
Angka-angka ini tidak hanya besar; mereka mewakili batas kemampuan kita untuk mengkonsep kuantitas. Hal-hal tersebut terbatas, didefinisikan secara ketat, namun sama sekali di luar intuisi manusia.
Eksperimen Pemikiran Terakhir: Jumlah Foto yang Mungkin
Satu contoh terakhir: pertimbangkan jumlah foto maksimum teoritis yang dapat diambil oleh kamera digital. Dengan jumlah piksel dan kedalaman warna yang tetap, terdapat batas yang terbatas (walaupun sangat besar). Bahkan jika alam semesta diciptakan kembali berkali-kali, jumlah ini akan tetap ada. Penghitungannya menghasilkan angka sekitar 10²⁴⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, nilai yang sangat besar sehingga mengerdilkan hampir semua hal lain yang dibahas.
Kesimpulannya sederhana: jumlah dapat bertambah tanpa batas, meskipun kita tidak dapat memahami skalanya. Alam semesta mungkin tampak tak terbatas dalam banyak hal, namun secara matematis, kuantitas terbesarnya pun terbatas. Keajaiban sebenarnya bukan hanya seberapa besarnya angka-angka ini, namun bahwa angka-angka tersebut ada sebagai entitas yang terdefinisi dan terukur dalam kerangka matematika.
