L’esprit humain lutte contre les extrêmes. Nous comprenons naturellement « un », « deux », « plusieurs », mais lorsque les nombres dépassent l’expérience quotidienne, ils deviennent des concepts abstraits plutôt que des quantités que nous pouvons réellement saisir. Pourtant, les mathématiques ne s’arrêtent pas à ce qui nous convient ; il pénètre dans des domaines où les nombres deviennent si vastes qu’ils défient l’intuition.
Il ne s’agit pas ici d’infini – un concept qui repousse déjà les limites de la compréhension – mais de nombres finis qui sont encore incompréhensiblement grands. À mesure que les sociétés évoluaient, le besoin d’un plus grand nombre s’est accru. Les premières cultures manquaient souvent de mots pour des décomptes précis au-delà des nécessités de base, car les quantités exactes n’étaient pas essentielles à la survie. Aujourd’hui, nous discutons avec désinvolture des milliards de dettes et des valorisations des entreprises, mais le principe sous-jacent reste le même : les chiffres augmentent sans limite.
Le problème de la représentation
Le premier obstacle consiste simplement à écrire ces chiffres. Un million est facilement lisible, mais un septillion ? La chaîne de chiffres n’a plus de sens sans raccourci. C’est là qu’intervient la notation exponentielle. Au lieu d’écrire des zéros sans fin, nous utilisons des puissances de dix : 10², 10⁶, 10¹². Ce système n’est pas seulement pratique ; c’est essentiel pour aborder des échelles scientifiques et financières où la précision est vitale.
Les mathématiciens ont affiné cela avec des conventions de dénomination : million, milliard, billion et au-delà. Le système « –illion », enraciné dans le latin et le grec, s’étend indéfiniment. Cependant, même ces noms perdent leur sens au-delà d’un certain point, faisant de la notation scientifique (comme 2,3 x 10⁶) la méthode privilégiée pour plus de clarté.
L’univers en chiffres
Le besoin de disposer de très grands nombres n’est pas purement académique. L’univers lui-même les exige. L’âge de l’univers est d’environ 4 x 10¹⁷ secondes. Les estimations des grains de sable sur Terre atteignent 10²⁰. Le nombre d’étoiles dans l’univers observable est compris entre 10²² et 10²³. Et un seul corps humain contient environ 10²⁷ atomes.
Le nombre d’Eddington, environ 10⁸⁰, représente une limite supérieure pour compter tout ce qui est physiquement réel. Au-delà de cela, nous entrons dans un territoire purement mathématique.
Au-delà du nombre d’Eddington : la montée de l’excès mathématique
Une fois les limites pratiques dépassées, les mathématiciens commencent à construire des nombres encore plus grands. Un googol (10¹⁰⁰) a été inventé en 1920 par le neveu d’Edward Kasner, une exploration ludique de l’ampleur. La société Google s’est inspirée de ce terme, mais avec une orthographe différente.
Mais même un google n’est pas la fin. Un googolplex (10 à la puissance un googol) est si grand que pour le représenter, il faudrait plus de livres que d’atomes dans l’univers. Pour aller plus loin, les mathématiciens utilisent l’exponentiation itérée : élever les exposants en exposants. Cela conduit à des notations comme la notation de Knuth avec une flèche vers le haut, où chaque flèche supplémentaire représente un nouveau niveau de croissance.
L’absurdité du nombre de Graham et au-delà
Le nombre de Graham, né de la théorie de Ramsey, est défini de manière récursive à l’aide de la notation de Knuth : même le nombre de flèches est défini de manière récursive. Il est si grand qu’il est pratiquement impossible de discuter de ses chiffres sous forme décimale. TREE(3), un nombre issu de la théorie des graphes, est encore plus grand.
Ces chiffres ne sont pas seulement importants ; ils représentent les limites de notre capacité à conceptualiser la quantité. Ils sont finis, rigoureusement définis, mais totalement au-delà de l’intuition humaine.
Une dernière expérience de réflexion : le nombre de photos possibles
Un dernier exemple : considérons le nombre maximum théorique de photos qu’un appareil photo numérique pourrait prendre. Avec un nombre de pixels et une profondeur de couleur fixes, il existe une limite finie (bien qu’astronomiquement grande). Même si l’univers était recréé un nombre incalculable de fois, ce chiffre serait toujours valable. Le calcul donne un nombre autour de 10²⁴⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, une valeur si immense qu’elle éclipse presque tout le reste discuté.
La conclusion est simple : les chiffres peuvent croître indéfiniment, même si nous ne pouvons pas comprendre leur ampleur. L’univers peut sembler infini à bien des égards, mais mathématiquement, même ses plus grandes quantités sont finies. La vraie merveille n’est pas seulement la taille de ces nombres, mais le fait qu’ils existent en tant qu’entités définies et mesurables dans le cadre des mathématiques.
