La mente humana lucha con los extremos. Naturalmente entendemos “uno”, “dos”, “muchos”, pero cuando los números crecen más allá de la experiencia cotidiana, se convierten en conceptos abstractos en lugar de cantidades que realmente podamos comprender. Sin embargo, las matemáticas no se detienen en lo que nos conviene; avanza hacia reinos donde los números se vuelven tan vastos que desafían la intuición.
No se trata de infinito, un concepto que ya sobrepasa los límites de la comprensión, sino de números finitos que todavía son incomprensiblemente grandes. A medida que las sociedades evolucionaron, también lo hizo la necesidad de contar con un mayor número de personas. Las culturas primitivas a menudo carecían de palabras para contar conteos precisos más allá de las necesidades básicas, porque las cantidades exactas no eran críticas para la supervivencia. Ahora hablamos casualmente de billones en deuda y valoraciones de empresas, pero el principio subyacente sigue siendo el mismo: las cifras crecen sin límites.
El problema de la representación
El primer obstáculo es simplemente escribir estos números. Un millón es fácilmente legible, pero ¿un septillón? La cadena de dígitos pierde sentido sin taquigrafía. Aquí es donde entra en juego la notación exponencial. En lugar de escribir ceros infinitos, usamos potencias de diez: 10², 10⁶, 10¹². Este sistema no es sólo por conveniencia; es esencial para abordar escalas científicas y financieras donde la precisión es vital.
Los matemáticos refinaron aún más esto con convenciones de nomenclatura: millón, billón, billón y más. El sistema “-illion”, arraigado en el latín y el griego, se extiende indefinidamente. Sin embargo, incluso estos nombres pierden significado más allá de cierto punto, lo que hace que la notación científica (como 2,3 x 10⁶) sea el método preferido para mayor claridad.
El universo en números
La necesidad de cifras enormes no es puramente académica. El universo mismo los exige. La edad del universo es aproximadamente 4 x 10¹⁷ segundos. Las estimaciones de granos de arena en la Tierra alcanzan los 10²⁰. El número de estrellas en el universo observable está entre 10²² y 10²³. Y un solo cuerpo humano contiene alrededor de 10²⁷ átomos.
El número de Eddington (aproximadamente 10⁸⁰) representa un límite superior para contar cualquier cosa físicamente real. Más allá de esto, entramos en un territorio puramente matemático.
Más allá del número de Eddington: el auge del exceso matemático
Una vez que se superan los límites prácticos, los matemáticos comienzan a construir números aún mayores. Un googol (10¹⁰⁰) fue acuñado en 1920 por el sobrino de Edward Kasner, una divertida exploración de la magnitud. La empresa Google se inspiró en este término, aunque con una ortografía diferente.
Pero ni siquiera un googol es el final. Un googolplex (10 elevado a la potencia de un googol) es tan grande que representarlo requeriría más libros que átomos en el universo. Para ir más allá, los matemáticos utilizan la exponenciación iterada: elevar exponentes a exponentes. Esto lleva a notaciones como la notación de flecha hacia arriba de Knuth, donde cada flecha adicional representa un nuevo nivel de crecimiento.
El absurdo del número de Graham y más allá
El número de Graham, nacido de la teoría de Ramsey, se define de forma recursiva utilizando la notación de Knuth; incluso el número de flechas se define de forma recursiva. Es tan grande que hablar de sus dígitos en forma decimal es prácticamente imposible. ÁRBOL(3), un número de la teoría de grafos, es aún mayor.
Estos números no son sólo grandes; representan los límites de nuestra capacidad para conceptualizar la cantidad. Son finitos, rigurosamente definidos, pero completamente más allá de la intuición humana.
Un experimento mental final: el número de fotos posibles
Un último ejemplo: considere el número máximo teórico de fotografías que podría tomar una cámara digital. Con un número de píxeles y una profundidad de color fijos, existe un límite finito (aunque astronómicamente grande). Incluso si el universo fuera recreado innumerables veces, este número seguiría siendo válido. El cálculo da como resultado un número de alrededor de 10²⁴⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, un valor tan inmenso que eclipsa casi todo lo demás discutido.
La conclusión es simple: los números pueden crecer indefinidamente, incluso si no podemos comprender su escala. El universo puede parecer infinito en muchos sentidos, pero matemáticamente, incluso sus cantidades más grandes son finitas. La verdadera maravilla no es sólo cuán grandes son estos números, sino que existen como entidades definidas y mensurables dentro del marco de las matemáticas.
