Lidská mysl se těžko vyrovnává s extrémy. Snadno pochopíme „jeden“, „dva“, „mnoho“, ale když čísla překročí každodenní zkušenost, stanou se spíše abstraktními pojmy než veličinami, které můžeme skutečně pochopit. Matematika však nekončí u toho, co je pro nás výhodné; proniká do oblastí, kde jsou čísla tak obrovská, že vzdorují intuici.
Nemluvíme o nekonečnu – konceptu, který již natahuje hranice chápání – ale o konečných číslech, která jsou stále nedozírně velká. Jak se společnosti vyvíjely, rostla i potřeba většího počtu. Rané kultury často neměly jazyk pro přesné počítání nad rámec základních potřeb, protože přesná množství nebyla pro přežití rozhodující. Nyní nezávazně diskutujeme o bilionech dluhů a ocenění společností, ale základní princip zůstává stejný: čísla rostou bez omezení.
Problém s prezentací
První překážkou je jednoduše zapsání těchto čísel. Milion se čte snadno, ale septilion? Řada čísel bez zkratek ztrácí smysl. Zde přichází na pomoc exponenciální zápis. Místo vypisování nekonečných nul používáme mocniny deseti: 10², 10⁶, 10¹². Tento systém není jen vymožeností; je nezbytný pro práci ve vědeckém a finančním měřítku, kde je důležitá přesnost.
Matematici to dále zdokonalili zavedením nomenklatury: milion, miliarda, bilion a tak dále. Systém „–illon“, který má kořeny v latině a řečtině, má neomezenou platnost. I tato jména však za určitým bodem ztrácejí význam, takže vědecký zápis (např. 2,3 x 10⁶) se stává preferovanou metodou pro srozumitelnost.
Vesmír v číslech
Potřeba obrovských čísel není jen akademická. Vesmír sám je vyžaduje. Stáří vesmíru je přibližně 4 x 10¹⁷ sekund. Odhady počtu zrnek písku na Zemi dosahují 10²⁰. Počet hvězd v pozorovatelném vesmíru se pohybuje mezi 10²² a 10²³. A jedno lidské tělo obsahuje asi 10²⁷ atomů.
Eddingtonovo číslo – zhruba 10⁸⁰ – představuje horní hranici pro počítání čehokoli fyzicky reálného. Dále vstupujeme do čistě matematického území.
Za Eddingtonovým číslem: Vzestup matematického přehánění
Jakmile jsou praktické limity překročeny, matematici začnou konstruovat ještě větší čísla. Googol (10¹⁰⁰) byl vytvořen v roce 1920 synovcem Edwarda Kassera, hravé zkoumání velikosti. Google se inspiroval termínem, i když s jiným pravopisem.
Ale ani Googol není konec. googolplex (10 k síle googolu) je tak velký, že k jeho znázornění by bylo potřeba více knih, než kolik je atomů ve vesmíru. Aby matematici pokročili o krok dále, používají iterované umocňování: zvýšení exponentů na exponenty. To vede k zápisům, jako je Knuthova horní šipka, kde každá další šipka představuje novou úroveň růstu.
Absurdita Grahamových čísel a dále
Grahamovo číslo, zrozené z Ramseyovy teorie, je definováno rekurzivně pomocí Knuthovy notace – dokonce i počet šipek je definován rekurzivně. Je tak velký, že diskutovat o jeho číslech v desítkové podobě je téměř nemožné. TREE(3), číslo z teorie grafů, je ještě větší.
Tato čísla nejsou jen velká; představují hranice naší schopnosti konceptualizovat kvantitu. Jsou konečné, přísně definované, ale zcela mimo lidskou intuici.
Závěrečný myšlenkový experiment: Počet možných fotografií
Jeden poslední příklad: zvažte teoretický maximální počet fotografií, které může digitální fotoaparát pořídit. Vzhledem k pevnému počtu pixelů a barevné hloubce existuje konečný (i když astronomicky velký) limit. I kdyby byl vesmír nesčetněkrát znovu vytvořen, toto číslo by stále zůstalo stejné. Výpočet dává číslo asi 10²⁴⁰³⁰⁹⁰⁰⁰, což je hodnota tak obrovská, že převyšuje téměř vše ostatní, o čem se dříve hovořilo.
Základní myšlenka je jednoduchá: čísla mohou růst donekonečna, i když nedokážeme pochopit jejich měřítko. Vesmír se může zdát nekonečný mnoha způsoby, ale matematicky i jeho největší velikosti jsou konečné. Skutečným zázrakem není jak velká tato čísla jsou, ale to, že existují jako určité, měřitelné entity v matematice.
